Invers dari Komposisi Fungsi

Perhatikan gambar diatas!
Fungsi f : A → B dan g : B → C , maka fungsi yang memetakan A ke C adalah fungsi komposisi (g o f)


f : A → B ditulis y = f(x)
g : B → C ditulis z = g(y)
____________________

z = g[f(x)] → (g o f)(x) = z

(g o f) ^-1 [(g o f)(x)] = (g o f) ^-1 (z)
x = (g o f)^-1 (z) → (g o f) ^-1 (z) = x

g^-1 : C → B ditulis y =g^-1 (z)
f^-1  : B → A ditulis x = f^-1 (y)
____________________

x = f^-1(y) → x = f^-1 (g^-1(z))
                     x = (f^-1 o g^-1) (z)

Dari persamaan di atas diperoleh hubungan
(g o f)^-1(z) = (f ^-1 o g^-1)(z) 
    (g o f)^-1 = f ^-1 o g^-1  

Berdasarkan uraian di atas terdapat 2 cara untuk mencari invers fungsi komposisi:
1. Menentukan fungsi komposisinya kemudian di inverskan
2. Mula mula menentukan invers masing masing fungsi kemudian di komposisikan

CONTOH:

Fungsi f : R  → R dan g : R → R dengan f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 2x +4
Tentukanlah (g o f) ^-1 (x)

Jawab:
Cara 1 :
(g o f) (x) = g[f(x)] 
                = g (3x+2)
                = 2(3x+2) + 4
                = 6x +4+4
                = 6x +8
(g o f)^-1 (x) = x-8 
                        6

Cara 2 :

f(x) = 3x + 2 → f ^-1 (x) = x-2
                                         3

g(x) = 2x +4 → g^-1 (x) = x- 4
                                         2

(g o f) ^-1 (x) = ( f ^-1 o g^-1 )(x)
                   =  f ^-1[ g^-1 (x) ]
                   = f ^-1( x- 4 )

                               2

                    
                      =    x-8 
                              6