Beberapa Fungsi Khusus

1. Fungsi Konstan
Fungsi Konstan bila setiap anggota A dipasangkan dengan satu anggota B yang sama

 

2. Fungsi Identitas

Fungsi Identitas bila setiap anggota domain dipasangkan dengan dirinya sendiri

3. Fungsi Linier
fungsi Linier diartikan dengan f(x)=ax+b. Grafiknya berupa garis lurus.

4. Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat diartikan dengan formula

f(x)=ax²+bx+c
Rumus titik puncak

5. Fungsi Modulus / Fungsi Nilai Mutlak

Setiap fungsi f(x)= |x|, yang memasangkan bilangan real dengan nilai mutlaknya disebut fungsi modulus 

6. Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bilangan Bulat Terbesar

7. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil 

Suatu fungsi y=f(x) disebut fungsi genap bila f(-x) = f(x)

Suatu fungsi y=f(x) disebut fungsi ganjil bila f(-x)= -f(x)

Invers dari Komposisi Fungsi

Perhatikan gambar diatas!
Fungsi f : A → B dan g : B → C , maka fungsi yang memetakan A ke C adalah fungsi komposisi (g o f)


f : A → B ditulis y = f(x)
g : B → C ditulis z = g(y)
____________________

z = g[f(x)] → (g o f)(x) = z

(g o f) ^-1 [(g o f)(x)] = (g o f) ^-1 (z)
x = (g o f)^-1 (z) → (g o f) ^-1 (z) = x

g^-1 : C → B ditulis y =g^-1 (z)
f^-1  : B → A ditulis x = f^-1 (y)
____________________

x = f^-1(y) → x = f^-1 (g^-1(z))
                     x = (f^-1 o g^-1) (z)

Dari persamaan di atas diperoleh hubungan
(g o f)^-1(z) = (f ^-1 o g^-1)(z) 
    (g o f)^-1 = f ^-1 o g^-1  

Berdasarkan uraian di atas terdapat 2 cara untuk mencari invers fungsi komposisi:
1. Menentukan fungsi komposisinya kemudian di inverskan
2. Mula mula menentukan invers masing masing fungsi kemudian di komposisikan

CONTOH:

Fungsi f : R  → R dan g : R → R dengan f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 2x +4
Tentukanlah (g o f) ^-1 (x)

Jawab:
Cara 1 :
(g o f) (x) = g[f(x)] 
                = g (3x+2)
                = 2(3x+2) + 4
                = 6x +4+4
                = 6x +8
(g o f)^-1 (x) = x-8 
                        6

Cara 2 :

f(x) = 3x + 2 → f ^-1 (x) = x-2
                                         3

g(x) = 2x +4 → g^-1 (x) = x- 4
                                         2

(g o f) ^-1 (x) = ( f ^-1 o g^-1 )(x)
                   =  f ^-1[ g^-1 (x) ]
                   = f ^-1( x- 4 )

                               2

                    
                      =    x-8 
                              6

Menentukan Formula Invers Fungsi y= f(x)

Dalam menetukan formula invers suatu fungsi y = f(x), variabel bebas (x) dan variabel bergantung (y) dari fungsi itu boleh saling di tukar.
Prosedur untuk menentukan f^-1(x) dari fungsi y= f(x)
1. nyatakan x dalam y
2. Selesaikan persamaan itu untuk variabel y
CONTOH:
f(x) = 3x-4
Cari f^-1(x), gambar f(x) dan f^-1(x)
Jawaban : y= 2x-1
                2x = y+1
                 x = y+1
                          2
               f^-1(x) = x+1
                             2
GAMBAR FUNGSI:

Menentukan invers fungsi pecahan
Fungsi awal: f(x) = ax+b
                             cx+d
Invers fungsi : f^-1(x) = -dx+b
                                   cx-a
CONTOH:
f(x)= 3x+2   ,   x2
         2x-4

Tentukanlah  f^-1(x) , f^-1(1)

JAWAB:
  f^-1(x) = 4x+2
              2x-3
f^-1(1) = 4(1) +2
            2(1) -3
         =  -6

Menentukan invers fungsi dari bentuk fungsi kuadrat:
Caranya fungsi kuadratnya di rubah ke bentuk kuadrat sempurna, kemudian dicari invers fungsinya.

CONTOH:
f(x) = x² -6x +9
Tentukanlah f^-1(x) , f^-1(2)

JAWAB:
      y = (x-3)²
 
 

Invers Fungsi

Pengertian invers fungsi:
Fungsi f : A → B menyatakan pemetaan setiap a ∈ A ke f(a) = b dengan b ∈ B. Jika ada fungsi g : B → A sehingga g(b) = a, maka fungsi g disebut invers dari f dan fungsi f adalah invers dari g.
Gambar dari fungsi f dan g

Definisi invers fungsi:
Dua fungsi f dan g saling invers satu sama lainnya, apabila memenuhi:
f[g(x)] = x untuk semua x dalam domain g dan g[f(x)] = x untuk semua x dalam domain f

CONTOH:
Tunjukkan bahwa f(x) = 2x-4 dan g(x) = (1/2) x + 2 saling invers:
f[g(x)] = f ( (1/2) x + 2)
           = 2((1/2) x + 2) -4
           = x

Jadi f[g(x)] = x (benar)

g[f(x)] = g (2x-4)

           =  (1/2) (2x-4) + 2

           =  x

Jadi g[f(x)] = x (benar)

Hal ini berarti fungsi f dan g saling invers

f[f^-1(x)] = x untuk semua x di dalam domain f^-1 

                               dan  

f ^-1[f(x)] = x untuk semua x di dalam domain f

CONTOH :
 Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 + f ^-1 (x-2) = 5 dengan f (3) = -3 pada domain f dan  f ^-1  :
(-∞ , ∞ )
JAWAB:
 2 + f ^-1 (x-2) = 5
       f ^-1 (x-2) = 5 - 2
       f ^-1 (x-2) =3
f [  f ^-1 (x-2)] = f(3)
              x-2 = f(3)
                 x = f(3) + 2
                 x = -3 + 2
                 x = -1