Komposisi Fungsi

A. Pengertian Komposisi Fungsi
     Dalam pasal ini kita akan membahas suatu metode untuk menggabungkan fungsi yang dikenal sebagai komposisi fungsi. Metode ini berlandaskan pada proses aljabar yang sudah umu yaitu substitusi.
      Diberikan dua fungsi f dan g fungsi f o g ditentukan oleh formula (f o g)(x) = f [g(x)]
      Domain dari (f o g) terdiri atas masukan :

Sebagai contoh, perhatikan fungsi f dan g yang didefinisikan oleh :  f(x) =  x² dan g(x) = 3x+1
a. Menentukan (f o g) (x)
(f o g) (x) = f[g(x)]
                =  f(3x+1)
                =  (3x+1)²
(f o g) (x) = 9x² + 6x + 1

b. Menentukan ( g o f ) (x)
(g o f) (x) = g (x² )
               = 3(x² )+1
               = 3x²+1
B. Menentukan fungsi jika komposisi fungsinya diketahui
1. Jika fungsi yang depan diketahui, yang belakang fungsinya tidak diketahui caranya tiap x difungsi yang depan diganti dengan nama fungsi belakangnya.
Contoh: f(x) = 5x-2 dan ( f o g) (x) = 10x-7
tentukan formula untuk g(x)
( f o g) (x) = 10x-7
f[g(x)] = 10x-7
5g(x)-2 = 10x-7
5g(x) = 10x-7+2
5g(x) = 10x-5
g(x)= 2x-1

2. Jika fungsi depan tidak diketahui, fungsi belakangnya diketahui maka penyelesaiannya fungsi yang belakang dimisalkan y kemudian pada fungsi komposisi x dinyatakan dalam y sehingga akhirnya ketemu fungsi bagian depan.
Contoh: g(x) = 2x+1 dan (f o g) (x) = 6x+8
cari f(x)
Jawab: g(x) = y =2x+1
                   2x=y-1
                      x= (y-1) / 2
(f o g)(x) = f[g(x)] = f(y)= 6((y-1) / 2) +8 = 3y-3+8 = 3y+5, maka f(x) =3x+5

Aljabar Fungsi

A. Jumlah dan Selisih Fungsi
     Jumlah dan selisih fungsi dapat dilakukan dan akan menghasilkan sebuah fungsi baru, apabila kedua fungsi tersebut mempunyai domain yang sama atau mempunyai domain persekutuan (irisan), secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: 
 Jika f dan g merupakan 2 fungsi yang terdefinisi pada Domain D_f dan D_g, maka:
1. Jumlah fungsi f dan g, ditulis f + g, didefinisikan dengan : (f+g)(x) = f(x)+ g(x) dengan domain  
D_f+g = D_f  ∩ D_g
 2. Selisih fungsi f dan g, ditulis f- g didefinisikan dengan: (f-g)(x) = f(x)- g(x) dengan domain
D_f-g = D_f  ∩ D_g

Contoh:
 f(x) = 2x-3  dan g(x) = 5x 
 Tentukan setiap fungsi berikut dan daerah asalnya/ domain
a. (f+g)(x) 
b. (f-g)(x)
Jawab:
Domain f(x) = 2x-3 adalah D_f = {x | x∈ R}
Domain g(x) = 5x adalah D_g = {x | x∈ R}
a. (f+g)(x) = f(x) +g(x) = 2x-3 +5x = 7x-3
Domain fungsi (f+g)(x)
D_f+g = D_f  ∩ D_g = {x | x∈ R}  ∩ {x | x∈ R}
D_f+g= {x | x∈ R}
Jadi, (f+g)(x) = 7x-3 mempunyai domain D_f+g= {x | x∈ R}
b.  (f-g)(x) = f(x) -g(x) =2x-3 - 5x= -3x -3
D_f-g = D_f  ∩ D_g = {x | x∈ R}  ∩ {x | x∈ R}
D_f-g= {x | x∈ R}
Jadi  (f-g)(x) = -3x-3 mempunyai domain D_f-g= {x | x∈ R}
B. Hasil Kali Dua Fungsi
    Analog dengan jumlah dan selisih dua fungsi, perkalian dau fungsi dapat dilakukan apabila kedua fungsi mempunyai domain yang sama atau mempunyai domain persekutuan (irisan), secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :
Jika f dan g merupakan 2 fungsi yang terdefinisi pada Domain D_f dan D_g, maka:
1. Hasil kali f dengan skalar k, ditulis kf, didefinisikan dengan:
              (kf)(x) = kf(x) dengan domain  D_kf = D_f 
2. Hasil kali fungsi f dan g ditulis f . g didefinisikan dengan:
              (f . g)(x) = f(x) . g(x) dengan domain D_fg = D_f  ∩ D_g
Contoh : 
Fungsi f : A →  R ditentukan oleh formula f(x) = 2x-3 dengan domain A = {x | x∈ R} dan g: B→  R ditentukan oleh formula g(x) = 5x dengan domain B = {x | x∈ R}, maka:
(f . g)(x) = (2x-3) . 5x = 10x² – 15x dengan domain D_{f . g} = A ∩ B = {x | x∈ R}
C. Hasil Bagi Dua Fungsi

     Jika f dan g merupakan dua fungsi yang terdefinisi pada domain  D_f dan D_g, maka hasil bagi f dengan g ditulis :  ,   didefinisikan dengan :

       

Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

A. Fungsi Surjektif

       Fungsi f(A) = B disebut "fungsi into" atau "fungsi ke dalam B", apabila range dari f (R_f) merupakan himpunan bagian dari kodomain f (K_f), ditulis: R_f K_f. Jika R_f = K_f , yaitu setiap anggota di B mempunyai pasangan/ kawanan (prapeta) anggota di A (daerah asal/ domain fungsi f), maka f: A → B disebut " fungsi onto " atau " fungsi surjektif " atau " fungsi kepada B".

B. Fungsi Injektif 
       Fungsi f(A)  → B disebut fungsi injektif atau fungsi satu- satu apabila anggota yang berbeda di B (R_f) mempunyai pasangan/ kawan (prapeta) yang berbeda di A (D_f). Hal ini berarti, jika dua anggota yang berbeda di A tidak boleh mempunyai pasangan/ peta yang sama di B. Secara matematis, dapat didefinisikan sebagai: Fungsi f(A) → B disebut fungsi injektif atau fungsi satu- satu. 

C.  Fungsi Bijektif
         Fungsi f (A)  → B disebut fungsi bijektif atau fungsi berkomposer satu satu apabila anggota anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B. Hal ini berarti  n(A) =  n(B). Secara matematis, pendefinisian dapat ditulis sebagai : Fungsi f(A) → B disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif dan sekaligus fungsi injektif .

Domain dan Range

 Domain fungsi adalah semua nilai masukan yang ada nilai range atau nilai fungsinya. Range fungsi adalah semua nilai hasil yang mungkin.
1. Untuk bentuk akar domain fungsi syaratnya yang di dalam akar harus ≥ 0.
Berikut ini adalah contoh mencari domain fungsi akar

Domain dari fungsi di atas terdefinisi untuk 3 – x ≥ 0

                                                    -x ≥ -3   ,  x ≤ 3

Jadi domain  untuk fungsi di atas adalah Df = {x| x ≤ 3, x ∈ R} 
 

2. Untuk bentuk pecahan domain fungsi syaratnya penyebut tidak boleh bernilai 0. 

    Berikut ini adalah contoh mencari domain pecahan 

Agar pecahan terdefinisi, maka x ≠ 2

 Jadi domain  untuk fungsi di atas adalah Df = {x| x ≠ 2 , x ∈ R}